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已知點B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn)(n∈N*)在直線上,點A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…,An(xn,0)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N*,點An,Bn,An+1構成以∠Bn為頂角的等腰三角形,設△AnBnAn+1的面積為Sn,
(1)證明:數列{yn}是等差數列;
(2)求S2n-1(用a和n的代數式表示);
(3)設數列前n項和為Tn,判斷Tn(n∈N*)的大小,并證明你的結論.
【答案】分析:(1)由數列的函數特性,要證明數列{yn}是等差數列,我們可以根據已知點B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn)(n∈N*)在直線上,進而給出數列{yn}的通項公式,利用通項公式法證明.
(2)由已知易得,進一步可以證明數列{xn}所有的奇數項成等差數列,所有的偶數項也成等差數列,由等差數列的性質易得A2n-1(2n+a-2,0),A2n(2n-a,0),結合(1)的結論和三角形面積公式,即可給出S2n-1的表達式.
(3)由(2)的結論,易給出數列前n項和為Tn的表達式,利用裂項求和法,化簡Tn的表達式再與進行比較,即可得到結論.
解答:解:(1)由于點B1(1,y1),B2(2,y2),,Bn(n,yn)(n∈N*)在直線上,
,
因此,所以數列{yn}是等差數列;
(2)由已知有,那么xn+xn+1=2n,同理xn+1+xn+2=2(n+1),
以上兩式相減,得xn+2-xn=2,
∴x1,x3,x5,…,x2n-1,成等差數列;x2,x4,x6,…,x2n,也成等差數列,
∴x2n-1=x1+(n-1)×2=2n+a-2,x2n=x2+(n-1)×2=(2-a)+(n-1)×2=2n-a,
點A2n-1(2n+a-2,0),A2n(2n-a,0),
則|A2n-1A2n|=2(1-a),|A2nA2n+1|=2a,
,

(3)由(2)得:,

而S2nS2n-1>0,則,




由于,
,
,從而,
同理:

以上n+1個不等式相加得:

從而
點評:要判斷一個數列是否為等差(比)數列,我們常用如下幾種辦法:①定義法,判斷數列連續兩項之間的差(比)是否為定值;②等差(比)中項法,判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差(比)中項;③通項公式法,判斷其通項公式是否為一次(指數)型函數;④前n項和公式法.
練習冊系列答案
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已知點B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn)(n∈N*)在直線y=
1
2
x+1
上,點A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…,An(xn,0)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N*,點An,Bn,An+1構成以∠Bn為頂角的等腰三角形,設△AnBnAn+1的面積為Sn,
(1)證明:數列{yn}是等差數列;
(2)求S2n-1(用a和n的代數式表示);
(3)設數列{
1
S2n-1S2n
}
前n項和為Tn,判斷Tn
8n
3n+4
(n∈N*)的大小,并證明你的結論.

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已知點B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為直線y=
x
4
+
1
12
上的點,點A1(x1,0),A2(x2,0),…An(xn,0),…(n∈N*)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對任意的n∈N*,點An、Bn、An+1構成以Bn為頂點的等腰三角形.
(Ⅰ)證明:數列{yn}是等差數列;
(Ⅱ)求證:對任意的n∈N*,xn+2-xn是常數,并求數列{xn}的通項公式;
(Ⅲ)在上述等腰三角形AnBnAn+1中是否存在直角三角形,若存在,求出此時a的值;若不存在,請說明理由.

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12
x+1
上,點A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0)…An(xn,0)順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a<1),對于任意n∈N*,點An,Bn,An+1構成以∠Bn為頂點的等腰三角形,設△AnBnAn+1的面積為Sn
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(2)求S2n-1(用n和a的代數式表示).

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