Question

【題目】已知橢圓C： 的上、下焦點分別為F1 ， F2 ， 上焦點F1到直線 4x+3y+12=0的距離為3，橢圓C的離心率e= ．
（I）若P是橢圓C上任意一點，求| || |的取值范圍；
（II）設過橢圓C的上頂點A的直線l與橢圓交于點B（B不在y軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與x軸交于點H，若 =0，且| |=| |，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知橢圓C方程為 ，

設橢圓上焦點F1（0，c），由F1到直線4x+3y+12=0的距離為3，

得 ，又橢圓C的離心率 ，所以 ，又a2=b2+c2，

求得a2=4b2=3．橢圓C方程為 ，

所以1≤|PF1|≤3，設 ， =﹣（t﹣2）2+4，t=2時，

最大值為4，t=1或3時， 最小值為3，

取值范圍是[3，4]．…（5分）

（Ⅱ）設直線l的斜率為k，

則直線l方程y﹣2=kx，設B（xB，yB），A（xA，yA），

由 ，得（3k2+4）x2+12kx=0，

則有xA=0， ，所以 ，

所以 ， ，

由已知 ，

所以 ，解得 ， ，

，yM=1，MH的方程 ，聯立 ，

，解得 ，

所以線l的方程為

【解析】（Ⅰ）設橢圓上焦點F1（0，c），由F1到直線4x+3y+12=0的距離為3，結合橢圓C的離心率 ，求出橢圓C方程，推出1≤|PF1|≤3，設 ， =﹣（t﹣2）2+4，t=2時，然后求解 取值范圍．（Ⅱ）設直線l的斜率為k，直線l的方程y﹣2=kx，設B（xB，yB），A（xA，yA），聯立直線與橢圓方程，求出A，B坐標，利用 ，求出H、M的坐標，推出k即可求出直線l的方程．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．