Question

已知數列{a_n}的前n項和滿足：a₁=-1，S_n+1+2S_n=-1(nN^*)，數列{b_n}的通項公式為b_n=3n-4(nN^*).

(Ⅰ)求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)試比較a_n與b_n的大小，并加以證明；

(Ⅲ)是否存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k，使得三點A_n(b_n，a_n)，A_m(b_m，a_m)，A_k(b_k，a_k)落在圓C上?說明理由.

Answer 1

解：(1)∵S_n+1+2S_n=-1(a∈N^*),∴S_n+2+2S_n+1=-1(n∈N^*)兩式相減得a_n+2+2a_n+1=0,

即a_n+2=-2a_n+1(n∈N^*).又a₁=-1,S₂+2S₁=3a₁+a₂=-1,a₂=-2a₁,∴a₁=-1,a_n+1=-2a_n(n∈N^*),

即數列{a_n}是首項為-1；公比為-2的等比數列,其通項公式是a_n=-(-2)^n-1  。

(Ⅱ)a₁=-1,b₁=-1；a₂=2,b₂=2；a₄=8,b₄=8∴當n=1,2,4時,a_n=b_n當n=2k+1(k∈N^*)時,a_2k+1=-(-2)^2k＜0,b_2k+1=6k-1＞0,∴a_n＜b_n

當n=2k(k∈N^*)時,a_2k=2^k-1=2⁴·(1+1)^2k-5≥16()=32k-64＞0,

b_2k=6k-4,  ∵k∈N^*,k≥3.∴a_n-b_n≥26k-60≥18＞0,即a_n＞b_n 。

(Ⅲ)不存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k,使得三點A_n、A_m、A_k落在圓C上.假沒存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k,使得三點A_n、A_m、A_k,即A_n(3n-4,-(-2)^n-1),A_m(3m-4,-(-2)^m-1),A_k(3k-4,-(-2)^k-1)落在圓C上.

不妨設n＞m＞k≥1,設圓C的方程為：x²+y²+Dx+F=0

從而9n²-24n+16+4^n-1+(3n-4)D+F=0  ①

9m²-24m+16+4^m-1+(3m-4)D+F=0  ②

9k²-24k+16+4^k-1+(3k-4)D+F=0  ③

由①-②,②-③得：

9(n+m)(n-m)-24(n-m)++3(n-m)D=0

9(m+k)(m-k)-24(m-k)++3(m-k)D=0

即9(n+m)-24++3D=0  ④

9(m+k)-24++3D=0  ⑤

由④-⑤得：9(n-k)+=0

整理得,9(n-k)+[(m-k)(n-k)()+(n-m)]=0

∵n＞m＞k≥1,∴又作函數f(x)=(x≥1),

由f′(x)=,0(x≥1)知函數f(x)=(x≥1)是增函數.

∵n＞m＞k≥1,∴n-k＞m-k≥1,∴,與矛盾.

故不存在圓心在x軸上的圓C及互不相等的正整數n、m、k,使得三點A_n、A_m、A_k落在圓C上.