Question

已知圓C1：(x+2)2+y2=4及點C₂（2，0），在圓C₁上任取一點P，連接C₂P，做線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點M．
（1）當點P在圓C₁上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于A₁，A₂兩點，在軌跡E上任取一點Q（x₀，y₀）（y₀≠0），直線QA₁，QA₂分別交y軸于D，E兩點，求證：以線段DE為直徑的圓C過兩個定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點M，可得|MC₂|=|MP|，利用|MP|=|MC₁|+2，可知M點軌跡是以C₁，C₂為焦點的雙曲線，從而可求點M的軌跡E的方程；
（2）確定直線QA₁，QA₂的方程，進而可求D，E兩點的坐標，從而可得以線段DE為直徑的圓C的方程，即可得到結論．

解答：（1）解：∵線段C₂P的中垂線交直線C₁P于點M，∴|MC₂|=|MP|，
又∵|MP|=|MC₁|+2，∴|MC₁|-|MC₂|=±2（2＜4）
∴M點軌跡是以C₁，C₂為焦點的雙曲線，且2a=2，2c=4
∴點M的軌跡E的方程為x2-

y2

3

=1
（2）證明：A₁（-1，0），A₂（1，0），QA1：y=

y0

x0+1

(x+1)，∴D(0，

y0

x0+1

)
QA2：y=

y0

x0-1

(x-1)，∴E(0，

-y0

x0-1

)
∴DE中點(0，

-3

y0

)
∴以DE為直徑的圓方程x2+(y+

-3

y0

)2=(

3x0

y0

)2
∴y=0時，x2=

9x02

y02

-

9

y02

=3
∴以線段DE為直徑的圓C過兩個定點，定點為(±

3

，0)

點評：本題考查軌跡方程的求法，考查圓過定點，解題的關鍵是理解雙曲線的定義，確定圓的方程．