Question

過P(1，0)作曲線C：y＝x^k，的切線，切點為Q₁，設Q₁點在x軸上的投影為P₁；又過P₁作曲線C的切線，切點為Q₂，設Q₂點在x軸上的投影是P₂點…，依次下去，得到一系列點Q₁，Q₂，…Q_n，…設Q_n的橫坐標是a_n．

(1)求證：a_n＝()ⁿ，n∈N₊；

(2)求證：a_n≥1＋；

(3)求證：＜k²－k(注＝a₁＋a₂＋…＋a_n)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)＝kxk－1，若切點是Qn(an，)，則切線方程y－＝k(x－an) 　　當n＝1時，切線過p(1，0) 　　即0－＝k(1－a1)，得a1＝ 　　當n＞1時，切線過點Pn－1(an－1，0)， 　　即0－ak＝k(an－1－an)，得＝ 　　∴數列{an}是首項為，公比為的等比數列，an＝()n，n∈N+ 　　(2)an＝()n＝(1＋)n＝Cn0＋Cn1＋Cn2()2＋…＋Cnn()n≥Cn0＋Cn1＝1＋ 　　(3)記Sn＝＋＋…＋＋ 　　則Sn＝＋＋…＋＋兩式相減(1－)Sn＝＋＋…＋－＜＋＋…＋ 　　Sn＜＜k－1，故Sn＜k2－k．