Question

【題目】已知橢圓x2+4y2=4，直線l：y=x+m
（1）若l與橢圓有一個公共點，求m的值；
（2）若l與橢圓相交于P、Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把直線y=x+m代入橢圓方程得：x2+4（x+m）2=4，即：5x2+8mx+4m2﹣4=0，

△=（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）=﹣16m2+80=0

解得：m=

（2）解：設該直線與橢圓相交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1，x2是方程5x2+8mx+4m2﹣4=0的兩根，

由韋達定理可得：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∴|AB|= = = =2；

∴m=±

【解析】（1）將直線的方程y=x+m與橢圓的方程x2+4y2=4聯立，得到5x2+2mx+m2﹣1=0，利用△=0，即可求得m的取值范圍；（2）利用兩點間的距離公式，再借助于韋達定理即可得到：兩交點AB之間的距離，列出|AB|=2，從而可求得m的值．