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【題目】已知橢圓的標準方程為，該橢圓經過點，且離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓長軸上一點作兩條互相垂直的弦．若弦的中點分別為，證明：直線恒過定點．

【答案】（1）;（2）．

【解析】

(1)根據已知得到方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先求直線MN的方程，，即得直線MN經過的定點，再討論當時，直線也經過定點，綜上所述，直線經過定點．當時，過定點．

（1）解：∵點在橢圓上，∴，

又∵離心率為，∴，∴，

∴，解得，，

∴橢圓方程為．

（2）證明：設直線的方程為，，則直線的方程為，

聯立，得，

設，，則，，

∴，

由中點坐標公式得，

將的坐標中的用代換，得的中點，

∴直線的方程為，，

令得，∴直線經過定點，

當時，直線也經過定點，綜上所述，直線經過定點．

當時，過定點．

練習冊系列答案
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甲

27

38

30

37

35

31

乙

33

29

38

34

28

36

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②求證：．

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A.（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）

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C.（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）

D.（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，0）∪（1，4）

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