Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，直線為.

（1）求到點和直線的距離相等的點的軌跡方程；

（2）過點作直線交橢圓于點，，又直線交于點，若，求線段的長；

（3）已知點的坐標為，，直線交直線于點，且和橢圓的一個交點為點，是否存在實數，使得？若存在，求出實數，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在,,理由見解析

【解析】

（1）設為,根據描述利用兩點間距離公式得到,整理即可；

（2）根據可判斷軸,從而得到,代回橢圓方程解得點坐標,進而得到的長；

（3）先假設存在,分別聯立直線與直線,直線與橢圓,解出點,點坐標,整理和后即可解出

解：（1）由題,可得為

設為,點到點和直線的距離相等,

即點的軌跡方程為

（2）設直線與軸交點為,且

∽

軸,則

將代入中可得,

由橢圓的對稱性可得,

（3）存在,；

假設存在滿足題意,由題,直線為 ①,

②,橢圓 ③

由①②可得,,，

由①③可得,,，

,

當時,