Question

（2013•東城區一模）如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AB=AC=AE=2，ED=

1

2

AB，P是BC的中點．
（Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB的中點F，連接PF，EF．利用三角形的中位線定理可得FP

∥

.

1

2

AC．再利用已知條件和平行四邊形的判定定理可得四邊形EFPD是平行四邊形，可得PD∥EF．利用線面平行的判定定理即可得出；
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：（I）證明：取AB的中點F，連接PF，EF．
又∵P是BC的中點，∴FP

∥

.

1

2

AC．
∵ED=

1

2

AB=

1

2

AC，ED∥AC，
∴FP

∥

.

ED，
∴四邊形EFPD是平行四邊形，
∴PD∥EF．
而EF?平面EAB，PD?平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以點A為坐標原點，直線AB為x軸，AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則z軸在平面EACD內．則A（0，0，），B（2，0，0），E(0，1，

3

)，D(0，2，

3

)．
∴

EB

=(2，-1，-

3

)，

ED

=(0，1，0)．
設平面EBD的法向量

n

=(x，y，z)，由

n • EB =0 n • ED =0

，得

2x-y- 3 z=0 y=0

，
取z=2，則x=

3

，y=0．∴

n

=(

3

，0，2)．
可取

m

=(0，0，1)作為平面ABC的一個法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

7

=

2 7

7

．
即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為

2 7

7

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理、面面垂直的性質定理、通過建立空間直角坐標系并利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角等是解題的關鍵．