Question

已知函數y=f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0，則f（x）極大值與極小值之差為

4

．

Answer 1

分析：先對函數進行求導，由題意可得f′（2）=0，f′（1）=-3，代入可求出a、b的值，進而可以求出函數的單調區間，函數的極大值為f（0）=c，極小值為f（2）=c-4，即可得出函數的極大值與極小值的差

解答：解：對函數求導可得f′（x）=3x²+6ax+3b，
因為函數f（x）在x=2取得極值，所以f′（2）=3•2²+6a•2+3b=0
即4a+b+4=0①
又因為圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行
所以f′（1）=3+6a+3b=-3
即2a+b+2=0②
聯立①②可得a=-1，b=0
所以f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
當f′（x）＞0時，x＜0或x＞2；當f′（x）＜0時，0＜x＜2
∴函數的單調增區間是 （-∞，0）和（2，+∞）；函數的單調減區間是（0，2）
因此求出函數的極大值為f（0）=c，極小值為f（2）=c-4
故函數的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4
故答案為4

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，以及利用導數解決函數在閉區間上的最值問題和函數恒成立問題．