Question

（本小題滿分13分）
設函數（為常數，是自然對數的底數）.
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）若函數在內存在兩個極值點，求的取值范圍.

Answer 1

（I）的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（II）函數在內存在兩個極值點時，k的取值范圍為.

試題分析：（I）函數的定義域為，

由可得，
得到的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（II）分，，，時，
討論導函數值的正負，根據函數的單調性，明確極值點的有無、多少.
試題解析：（I）函數的定義域為，



由可得，
所以當時，，函數單調遞減，
當時，，函數單調遞增.
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（II）由（I）知，時，函數在內單調遞減，
故在內不存在極值點；
當時，設函數，
因為，
當時，
當時，，單調遞增，
故在內不存在兩個極值點；
當時，
得時，，函數單調遞減，
時，，函數單調遞增，
所以函數的最小值為，
函數在內存在兩個極值點；
當且僅當，
解得，
綜上所述，函數在內存在兩個極值點時，k的取值范圍為.