Question

如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數，并寫出定義域；
（2）問：當θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數解析式，并注明θ的范圍．
（2）設sinθ+cosθ=t，根據函數 L= 在[，]上是單調減函數，可求得L的最大值．
解答：解：（1）由題意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tanθ≤10，AF=≤10，
而且 ≤tanθ≤，θ∈[，]，
∴L=++，θ∈[，]．
即L=10×，θ∈[，]．
（2）設sinθ+cosθ=t，則 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．
由于L= 在[，]上是單調減函數，∴當t=時，即 θ= 或θ= 時，L取得最大值為 20（+1）米．
點評：本題主要考查在實際問題中建立三角函數的模型，利用三角函數的單調性求三角函數的最值，屬于中檔題．