Question

（本題滿分15分）已知橢圓上的動點到焦點距離的最小值為。以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點(2，0)的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓上一點， 且滿足

（為坐標原點）。當 時，求實數的值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）故橢圓的方程為．（Ⅱ）   。

【解析】本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運用．

（1）由題設條件可知 a-c的值，然后利用以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，得到橢圓C的標準方程．

（2）設出直線方程與橢圓聯立方程組，結合韋達定理和向量的關系式，得到參數k與t的關系式，進而得到結論。

解：（Ⅰ）由題意知；        ………………2分

又因為，所以，．          ………………4分

故橢圓的方程為．              ………………5分

（Ⅱ）設直線的方程為，，，，

由得．           ……………………7分

，．                 ……………………9分

，．又由，得，

                                   ……………………11分

可得．                                            ……………………12分

又由，得，則，．               ……………………13分

故，即．   ……………………14分

得，，即                                ……………………15分