Question

【題目】如圖，真四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是BC，，的中點.

（1）證明：面；

（2）求平面DMN與平面所成銳角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）

【解析】

（1）由余弦定理可得，進而可得，由正棱柱的幾何特征可得，由線面垂直的判定即可得解；

（2）連接ME，由題意可得四邊形DNME為平行四邊形，DE即為平面DMN與平面的交線，由線面垂直的判定可得面，進而可得即為平面DMN與平面所成的平面角，即可得解.

（1）證明：∵在菱形ABCD中，，，且E為BC中點，

∴，∴即，

又棱柱是直四棱柱，∴平面，∴，

又平面，平面，,

∴面；

（2）連接ME，

∵E，M，N分別是BC，，的中點，

∴且，

∴且，∴四邊形DNME為平行四邊形，

從而可知：DE即為面DMN與面的交線，

∵，，，∴面，

∴且，

則即為平面DMN與平面所成的平面角，

在中，，

故平面DMN與平面所成銳角的正切值為.