Question

【題目】如圖，設拋物線的焦點為，是拋物線上一點，過點的切線與軸相交于點，是線段的中點.直線交拋物線于另一點.

（1）求證：垂直于軸；

（2）求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由已知，設，只需證明的縱坐標為，設切線的斜率為，寫出切線方程，與拋物線聯立，令，建立關系，即可證明；

（2）設直線的方程是，與拋物線方程聯立，得到坐標關系，將點用表示，結合（1）的結論將三角形面積表示為的函數，根據函數特征求其最值.

（1）設，過的切線方程，

與拋物線方程聯立，消去得：

，

令，

即，解得，

故切線的方程是：，

令得，故，又，

故的中點的坐標是，

，所以垂直于軸.

（2）設直線的方程是，

代入拋物線方程得：，設

所以，故，

由（1）題結論可知，

，

設，令，

則，

所以在遞減，在遞增，

故，

所以面積的取值范圍是.