Question

已知函數f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）討論f（x）的單調性，并求f（x）的極大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，利用導數的幾何意義及曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用導數的正負，可得f（x）的單調性，從而可求f（x）的極大值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，
∴f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處切線方程為y=4x+4
∴f（0）=4，f′（0）=4
∴b=4，a+b=8
∴a=4，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4（x+2）（e^x-），
令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2
∴x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）時，f′（x）＞0；x∈（-2，-ln2）時，f′（x）＜0
∴f（x）的單調增區間是（-∞，-2），（-ln2，+∞），單調減區間是（-2，-ln2）
當x=-2時，函數f（x）取得極大值，極大值為f（-2）=4（1-e^-2）．
點評：本題考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與極值，考查學生的計算能力，確定函數的解析式是關鍵．