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給定常數，定義函數，數列滿足.

（1）若，求及；

（2）求證：對任意，；

（3）是否存在，使得成等差數列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.

 

【答案】

見解析

【解析】（1）因為，，故，

（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，

即只需證明

若，顯然有成立；

若，則顯然成立

綜上，恒成立，即對任意的，

（3）由（2）知，若為等差數列，則公差，故n無限增大時，總有

此時，

即

故，

即，

當時，等式成立，且時，，此時為等差數列，滿足題意；

若，則，

此時，也滿足題意；

綜上，滿足題意的的取值范圍是．

【考點定位】考查數列與函數的綜合應用，屬難題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p1，p2為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，f(x)=
f1(x)若f1(x)≤f2(x)
f2(x)若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f1（x）對所有實數x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；
（2）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度之和為
b-a
2
（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義函數fK（x）=
f(x)，  f(x) ＞K
K， f(x) ≤ K
（K為給定常數），已知函數f（x）=
5
2
x2-3x2lnx，若對于任意的x∈（0，+∞），恒有fK（x）=K，則實數K的取值范圍為
[
3
2
e
2
3
，+∞)
[
3
2
e
2
3
，+∞)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•上海）給定常數c＞0，定義函數f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．數列a1，a2，a3，…滿足an+1=f（an），n∈N*．
（1）若a1=-c-2，求a2及a3；
（2）求證：對任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數g(x)=
x1+x2
(x＞0)，f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，區間I={x|f（x）＞0}
（1）證明：函數g（x）在（0，1]單調遞增；
（2）求I的長度（注：區間（α，β）的長度定義為β-α）；
（3）給定常數k∈（0，1），當1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值．

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