Question

設函數的最大值為M，最小正周期為T．
（1）求M、T；
（2）若有10個互不相等的正數x_i滿足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

【答案】分析：將函數解析式前兩項利用二倍角的余弦函數公式化簡，第三項利用二倍角的正弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，
（1）根據x為R，利用正弦函數的值域確定出函數的最大值，得到M的值；找出ω的值，代入周期公式，求出函數的最小正周期，確定出T；
（2）由求出的M及f（x）解析式，根據f（x_i）=M，利用正弦函數的圖象與性質列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，再由0＜x_i＜10π，確定出k的取值，列舉出所求式子的各項，計算后即可求出值．
解答：解：依題意得：f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=2sin（2x+），
（1）∵x∈R，∴f（x）_max=M=2，最小正周期T==π；
（2）由f（x_i）=M=2得：2x_i+=2kπ+，k∈Z，
解得：x_i=kπ+，k∈Z，
又0＜x_i＜10π，∴k=0，1，2，…，9，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（1+2+…+9）π+10×=π．
點評：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，三角形函數的周期性及其求法，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．