Question

設函數,.    
（Ⅰ）當時，在上恒成立，求實數的取值范圍;
（Ⅱ）當時，若函數在上恰有兩個不同零點，求實數 的取值范圍;
（Ⅲ）是否存在實數，使函數和函數在公共定義域上具有相同的單調性？若存在，求出的值，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由,可得　即
記，則f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等價于.
求得 
當時;;當時，
故在x=e處取得極小值，也是最小值，
即，故.
（2）函數k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有兩個相異實根。
令g(x)=x-2lnx,則
當時，,當時，
g(x)在[1,2]上是單調遞減函數，在上是單調遞增函數。
故 又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln3)
（3）存在m=，使得函數f(x)和函數h(x)在公共定義域上具有相同的單調性
,函數f(x)的定義域為（0,+∞）。
若，則，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，不合題意;
若,由可得2x²-m>0，解得x>或x<-（舍去）
故時，函數的單調遞增區間為(,+∞)
單調遞減區間為(0, )而h(x)在(0,+∞)上的單調遞減區間是(0,)，單調遞增區間是(，+∞)
故只需=，解之得m=即當m=時，函數f(x)和函數h(x)在其公共定義域上具有相同的單調性。

略