Question

下列命題中所有假命題的序號為    ．
①y=sinxcosx的周期為π，最大值為；  ②若x是第一象限的角，則y=sinx是增函數；③在△ABC中，若sinA=sinB，則A=B；  ④f（x）=sinx+cosx既不是奇函數，也不是偶函數；  ⑤的一條對稱軸為．

Answer 1

【答案】分析：①把函數解析式利用二倍角的正弦函數公式化簡為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函數的最小正周期，同時根據正弦函數的值域即可得到函數的最大值，進而做出判斷；
②可舉一個反例，比如390°＞30°，且兩角都為第一象限角，但是兩角的正弦值相等，故此函數在第一象限不是增函數，本選項為假命題；
③在△ABC中，若sinA=sinB，得到兩角相等或互補，但是兩角為三角形的內角，可得兩角不可能互補，故兩角相等，本選項為真命題；
④把函數解析式利用特殊角的正弦函數及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數為奇函數可得原函數也為奇函數，故本選項為假命題；
⑤根據余弦函數的對稱性，令角度為kπ，求出x的值即為函數的對稱軸，即可作出判斷．
解答：解：①y=sinxcosx=sin2x，
∵ω=2，∴T==π，
又sin2x∈[-1，1]，
∴函數的最大值為，本選項為真命題；
②由于390°＞30°，且都是第一象限角，sin390°=sin30°=，
故函數y=sinx在第一象限不是增函數，本選項為假命題；
③在△ABC中，若sinA=sinB，得到A=B或A+B=π（舍去），
∴A=B，本選項為真命題；
④f（x）=sinx+cosx=sin（x+），
∵正弦函數sin（x+）為奇函數，
∴函數f（x）=sinx+cosx為奇函數，本選項為假命題；
⑤，
令2x+=kπ，解得x=-，
當k=0時，函數的對稱軸為x=-，
∴函數的一條對稱軸為，本選項為真命題，
故答案為：②④
點評：此題考查了二倍角的正弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，正弦函數的奇偶性，以及余弦函數的對稱性，熟練掌握正弦、余弦函數的圖象與性質是解本題的關鍵．