Question

某地位于沙漠邊緣地區，人與自然進行長期頑強的斗爭，到2001年底全地區的綠化率已達到30%，從2002年開始，每年將出現下列變化：原沙漠面積的16%將栽上樹改造為綠洲，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變為沙漠，
（1）設全地區面積為1，2001年底綠洲面積為a₁=

3

10

，經過一年綠洲面積為a₂，經過n年綠洲面積為a_n+1，寫出a_n與a_n+1的關系式并求證數列{a_n-

4

5

}是等比數列；
（2）問經過努力到哪一年才能使全縣的綠洲面積超過60%．

Answer 1

分析：（1）根據題意利用今年的綠化面積表示出明年的綠化面積是解決本題的關鍵，弄清楚今年的綠化面積與明年綠化面積之間的關系，將文字語言表示為數學語言，根據等比數列的定義可證得數列{a_n-

4

5

}是等比數列；
（2）根據（1）中得出該數列的通項公式是解決本題的關鍵，利用指數式和對數式之間的關系確定出合題意的年份．

解答：解：（1）證明：由已知可得a_n確定后，a_n+1表示如下：a_n+1=a_n•（1-4%）+（1-a_n）•16%
即a_n+1=80%a_n+16%=

4

5

a_n+

4

25

由a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

可得：a_n+1-

4

5

=

4

5

（a_n-

4

5

）
即

an+1- 4 5

an- 4 5

=

4

5

，a₁-

4

5

=-

1

2

∴數列{a_n-

4

5

}是以-

1

2

為首項，公比為

4

5

的等比數列
（2）由（1）得a_n-

4

5

=（-

1

2

）×（

4

5

）^n-1，即a_n=（-

1

2

）×（

4

5

）^n-1+

4

5

則a_n+1=（-

1

2

）×（

4

5

）ⁿ+

4

5

≥

3

5

即

1

2

≥（

4

5

）^n-1
兩邊同時取對數可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥

lg2

1-3lg2

+1＞4，故使得上式成立的最小n∈N^*為5，
答：最少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%．

點評：本題考查數列在實際問題中的應用，考查探索數列遞推關系的數學模型意識，關鍵要將題目中的文字語言轉化為數學語言，考查學生根據數列的遞推關系確定通項公式的方法，考查學生對數的運算、轉化與化歸思想方法．