Question

設分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。

（Ⅰ）、求橢圓的方程；

（Ⅱ）、設為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內。

（此題不要求在答題卡上畫圖）

Answer 1

解：（I）依題意得解得  從而,

故橢圓方程為。

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。設。

點在橢圓上，。

又點異于頂點，

由三點共線可得.

從面

將①式代入②式化簡得

,.于是為銳角,從而為鈍角,故點在以為直徑的圓內.

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為。

點M、N分別在直線AP、BP上，

，.從而.③

聯立消去得.

是方程得兩根，∴（－2）．，即.  ④

又.   ⑤

于是由③、④式代入⑤式化簡可得

.

N點在橢圓上，且異于頂點A、B，.

又，, 從而.

故為鈍角，即點B在以MN為直徑的圓內.

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（，），N（，），則－2<<2 , -2<<2.又MN的中點Q的坐標為，

化簡得.                      ⑥

     直線AP的方程為，直線BP的方程為.

點P在準線上，

，即.                                  ⑦

又M點在橢圓上，，即                   ⑧

于是將⑦、⑧式化簡可得.

從而B在以MN為直徑的圓內.