Question

【題目】已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓C上，且⊥，△F1MF2的面積為.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知直線l與橢圓C交于A，B兩點，，若直線l始終與圓相切，求半徑r的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）由橢圓離心率為，點M在橢圓C上，且MF2⊥F1F2，△F1MF2的面積為，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．

（2）設直線l的方程為y＝kx+m，代入橢圓方程式，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由此利用韋達定理、根的判別式、點到直線的距離公式能求出半徑的r的值．

(1)設，由題意得

∴，

故橢圓C的方程為.

(2)當直線l的斜率存在時，設其直線方程為，設A(，)，B(，)，

聯立方程組，整理得，

由方程的判別式△＝64k2m2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）＞0，

得(1)

，，由∠AOB=90°，得

即

而，則

∴

整理得

把代入(1)得.

而，∴，顯然滿足，

直線l始終與圓相切，得圓心(0，0)到直線l的距離d=r，

則，

由，得

∵，∴.

當直線l的斜率不存在時，若直線l與圓相切，此時直線l的方程為.

∴

綜上所述：.