Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，點在橢圓上.

求橢圓的方程；

已知與為平面內的兩個定點，過點的直線與橢圓交于兩點，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義得到動圓圓心的軌跡的方程；（2）設的方程為，聯立可得，通過根與系數的關系表示弦長進而得到四邊形面積的表達式，利用換元法及均值不等式求最值即可.

試題解析：

解：由可得，，又因為，所以.

所以橢圓方程為，又因為在橢圓上，所以.

所以，所以，故橢圓方程為.

方法一：設的方程為，聯立，

消去得，設點，

有

，

所以令，

有，由

函數，

故函數，在上單調遞增，

故，故

當且僅當即時等號成立，

四邊形面積的最大值為.

方法二：設的方程為，聯立，

消去得，設點，

有

有，

點到直線的距離為，

點到直線的距離為，

從而四邊形的面積

令，

有，

函數，

故函數，在上單調遞增，

有，故當且僅當即時等號成立，四邊形面積的最大值為.

方法三：①當的斜率不存在時，

此時，四邊形的面積為.

②當的斜率存在時，設為：，

則

，

，

四邊形的面積

，

令 則

,

，

，

綜上，四邊形面積的最大值為.