Question

已知函數的圖象上，以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為，
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-1999對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）=mx³-x，可求出f'（x）的解析式，根據以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為 ，構造方程可以求出m的值，進而求出n值，
（2）由（1）中結論，我們可以求出函數的解析式，由于f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，
我們可以求出x∈[-1，3]的最大值，進而確定滿足條件的k值；
（3）根據（1）中函數的解析式，根據三角函數的值域和基本不等式，我們分別求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和 的最小值，對比后即可得到答案．
解答：解：（1）f'（x）=3mx²-，
依題意，得f'（1）=，即3m-=1，m=．…（2分）
∵f（1）=n，∴．…（3分）
（2），令f'（x）=x²-=0，得 ．…（4分）
當 時，f'（x）＞0；
當 時，f'（x）＜0；
當 時，f'（x）＞0．
∵x∈[-1，3]時，k-1999≥f（x）_max=11
∴k≥2010∴存在最小的正整數k=2010，
使得不等式f（x）≤k-1999對于x∈[-1，3]恒成立；…（9分）
（3）|f（sinx）+f（cosx）|====≤…（11分）
又∵t＞0，∴，．
∴==．…（13分）
綜上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
點評：本題考查的知識點是不等式的證明，導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性，直線的傾斜角，其中根據已知條件，求出函數的解析式，并分析出函數的性質是解答本題的關鍵．