Question

已知正項數列{a_n}滿足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{}的前n項積為T_n，求證：當x＞0時，對任意的正整數n都有T_n＞．

Answer 1

解：（I）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0
∴（另解-a_n不合題意舍去），
∴，
即 ，
（II）由（I）得：T_n=n!，
當x＞0時，T_n＞等價于xⁿ＜n!e^x ①
以下用數學歸納法證明：
①當n=1時，要證x＜e^x，令g（x）=e^x-x，
則g′（x）=e^x-1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜e^x 成立；
②假設當n=k時，①式成立，即x^k＜k!e^x，那么當n=k+1時，
要證x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
令h（x）=（k+1）!e^x-x^k+1，則h′（x）=（k+1）!e^x-（（k+1）x^k
=（k+1）（k!e^x-x^k），
由歸納假設得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即x^k+1＜（k+1）!e^x也成立，
由①②即數學歸納法原理得原命題成立．
分析：（I）先對（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0進行化簡得到 ，再由累乘法可得到數列的通項公式是a_n．
（II）根據（I）求出T_n，利用數學歸納法證明即可，證明過程中注意數學歸納法的步驟和導數的靈活應用．
點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用和累乘法．求數列通項公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、構造法等要熟練掌握，屬中檔題．