Question

【題目】農歷五月初五是端午節，民間有吃粽子的習慣，粽子又稱粽籺，古稱“角黍”，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為的正三角形構成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為______；若該六面體內有一球，則該球表面積的最大值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

該六面體看成由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為，在棱長為的正四面體中，其高為頂點和底面中心的連線段，易求；則該正四面體的體積易求，該六面體的體積可求. 當該六面體內有一球，且該球體積取最大值時，該球與相切，過球心作，則就是球半徑，利用等面積法可求半徑，則球的表面積可求.

解：該六面體看成由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為，如圖，

在棱長為的正四面體中，取中點為，連接，，

作平面，垂足在上，

則，，，

則該正四面體的體積為，

該六面體的體積.

當該六面體內有一球，且該球體積取最大值時，球心為，

且該球與相切，過球心作，則就是球半徑，

因為，所以球半徑，

所以該球表面積的最大值為：.

故答案為：；.