Question

在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于F，將△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C大小記為θ.

（Ⅰ）求證：面AEF⊥面BCD； 

（Ⅱ）θ為何值時，AB⊥CD. 

Answer 1

見解析

解析:

（Ⅰ）證明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D為AC的中點，則△ABD是等邊三角形

又E是BD的中點，∵BD⊥AE，BD⊥EF，折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF

∵BD面BCD，∴面AEF⊥面BCD      

（Ⅱ）解：過A作AP⊥面BCD于P，則P在FE的延長線上，設BP與CD相交于Q，

令AB=1，則△ABD是邊長為1的等邊三角形，若AB⊥CD，則BQ⊥CD

由于∠AEF=θ就是二面角A-BD-C的平面角，