Question

【題目】如圖，已知橢圓 的離心率為，且過點．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）設點，是橢圓上異于頂點的任意兩點，直線，的斜率分別為，且．

①求的值；

②設點關于軸的對稱點為，試求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（I）；（II）①8；②或．

【解析】

(Ⅰ) 根據條件列方程組解得， ，即得結果，(Ⅱ) ①先根據直線方程與橢圓方程解得，同理可得，再根據化簡求值，②先用A,B坐標表示直線的斜率，再根據得，利用①結論以及橢圓方程解得，最后代入得結果.

（1）由題意，所以，即，

所以橢圓的方程為，

又因為橢圓過點，所以，即，．

所以所求橢圓的標準方程為．

（2）①設直線的方程為，化簡得，

解得，

因為，故，

同理可得 ，

所以 ．

②由題意，點關于軸的對稱點為的坐標為，

又點是橢圓上異于頂點的任意兩點，

所以，

故 ，即．

設直線的斜率為，則，

因為，即，故，

所以 ，

所以直線的斜率為為常數，即或．