Question

【題目】如圖所示, 平面,平面平面,四邊形為正方形，, ,點在棱上.

(1)若為的中點為的中點,證明:平面平面；

(2)設,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 不存在,使得平面平面

【解析】

（1）由平面平面可得平面，從而有，結合條件可得四邊形為平行四邊形，于是，可得平面．又可根據條件得到平面，然后根據面面平行的判定定理可得結論．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又根據題意可得兩兩垂直，故可建立空間直角坐標系，根據空間向量的知識求解．

(1)∵平面平面，平面平面，

∴平面.

又平面，

∴，

又 ，

∴四邊形為平行四邊形，

∴．

又平面 平面，

平面．

，

，

又平面 平面，

平面．

又平面平面，

平面平面．

（2）在中，由余弦定理得

，

，

∴為直角三角形，且，

，

由平面可得，

兩兩垂直.

以點為坐標原點， 依次為軸正方向，建立空間直角坐標系，如下圖所示，

則．

設面的一個法向量為，

則即

令，解得，

．

設平面的一個法向量為，

則即

令，得，

若平面平面，

則 ，

化簡得，

由于，故此方程無解，

所以不存在實數，使得平面平面.