Question

設F為橢圓+y²=1的右焦點,O為坐標原點,P為坐標平面上一動點,且·=t(t＞-1且t為常數).

(1)求點P的軌跡方程.

(2)當t=時,是否存在直線l,使l是橢圓與(1)中軌跡的公切線?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)設P(x,y),∵F(2,0),∴=(-x,-y),=(2-x,-y).于是·=-x(2-x)+y²,

即(x-1)²+y²=t+1,故點P的軌跡方程為(x-1)²+y²=t+1(t＞-1).

(2)當t=-時,點P的軌跡(x-1)²+y²=.

橢圓的左,右頂點分別為(-,0),(,0),而圓與軸的兩交點為(1-,0),(1+,0),

∵-＜1-,1+＜,

∴垂直于x軸的直線不可能與兩曲線相切.

設公切線方程為y=kx+b,由題意可得=k²+8kb+4b²-3=0,①   

把y=kx+b代入橢圓方程,得(5k²+1)x²+10kbx+5b²-5=0,由Δ=0,得-5k²+b²-1=0,即b²=5k²+1,②

將②代入①,得8kb=-21k²-1,③ 

②③聯立,得k=±,由③知k、b異號,∴k=或

∴符合條件的直線存在,其方程為

y=x或y=x+.