Question

求證：一元二次方程2x²＋3x－7＝0有兩個不相等的實數根．

思考：

本題還有其他解法嗎？

Answer 1

答案：
解析：

分析：求證一個一元二次方程有兩個不相等的實數根，可以利用判別式Δ＝b2－4ac，證明Δ＞0，也可以轉化為證明對應的二次函數的圖象與x軸有兩個不重合的公共點．所以這個例題最少有這兩種方法． 　　證法1： 　　∵Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0， 　　∴方程2x2＋3x－7＝0有兩個不相等的實數根． 　　證法2： 　　設f(x)＝2x2＋3x－7， 　　這是一個二次函數，二次項系數a＝2，所以它的圖象是一條開口向上的拋物線，又因為當x＝－時，y有最小值，且ymin＝＝＜0．作出其圖象(如圖)，頂點在x軸下方． 　　所以函數f(x)＝2x2＋3x－7的圖象與x軸有兩個不同的交點，即方程2x2＋3x－7＝0有兩個不相等的實數根． 　　證法2的思想是這樣的：根據一元二次方程實數根與二次函數的零點的關系，方程有兩個不相等的實數根，即對應的二次函數有兩個零點，也就是說拋物線與x軸有兩個不同的交點．由于拋物線開口向上，所以只要頂點在x軸下方即可．進一步考慮，我們能不能不求頂點，而在x軸下方尋找拋物線上除頂點外的其他點呢？當然這個點的確定應該使計算越簡單越好．這時教師應點到為止，徹底放手讓學生自己尋找需要的點，直到找到的點計算最方便，大家都滿意為止，師生共同討論，得到證法3． 　　證法3： 　　設f(x)＝2x2＋3x－7，作出示意圖，(上圖) 　　這個函數的圖象是一條開口向上的拋物線，又因為f(0)＝2×02－3×0－7＝－7＜0，即函數的圖象過x軸下方的點(0，－7)，所以函數f(x)＝2x2＋3x－7的圖象與x軸有兩個不同的交點，即方程2x2＋3x－7＝0有兩個不相等的實數根． 　　點評：對于證法1，學生在初中學習數學的過程中就有接觸且研究較深，因而學生不難解決．通過前面的分析，學生也容易聯想到證法2，即把一元二次方程實數根的問題轉化為二次函數零點問題．但是在具體求解的過程中，由于拋物線開口向上，學生往往首先想到的是看頂點是不是在x軸下方，而不是找其他點，于是就有了證法3．這時教師一方面要對這種思路表示肯定，同時又要稍加引導．