Question

（1）設不等式2x-1＞m（x2-1）對滿足-2≤m≤2的一切實數m的取值都成立，求x的取值范圍；
（2）是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）對滿足-2≤x≤2的實數x的取值都成立．

Answer 1

分析：（1）構造函數f（m）=-（x²-1）m+2x-1，原不等式等價于f（m）＞0對于m∈[-2，2]恒成立，從而只需要

f(2)＞0 f(-2)＞0

即可，進而解不等式即可．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），原問題轉化為：使|x|≤2的一切實數都有2x-1＞m（x²-1）成立．對m的值進行分類討論：當m=0時，不滿足題意；當m≠0時，f（x）只需滿足

-m＞0，(m＜0) 1 m ≤-2 f(-2)＞0

，解之得結果為空集，從而得出結論．

解答：解：（1）令f（m）=2x-1-m（x²-1）=（1-x²）m+2x-1，可看成是一條直線，且使|m|≤2的一切
實數都有2x-1＞m（x²-1）成立．
所以，

f(2)＞0 f(-2)＞0

，即

2x2-2x-1＜0 2x2+2x-3＜0

，即

1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2 x＜ -1- 7 2 或x＞ -1+ 7 2

所以，

7 -1

2

＜x＜

3 +1

2

．
（2）令f（x）=2x-1-m（x²-1）=-mx²+2x+（m-1），使|x|≤2的一切實數都有2x-1＞m（x²-1）成立．
當m=0時，f（x）=2x-1在

1

2

≤x＜2時，f（x）≥0．（不滿足題意）
當m≠0時，f（x）只需滿足下式：

-m＞0，(m＜0) 1 m ≤-2 f(-2)＞0

或

-m＞0，(m＜0) -2＜ 1 m ≤2 △＜0

或

-m＞0 1 m ＞2 f(2)＞0

或

-m＜0，(m＞0) f(2)＞0 f(-2)＞0

解之得結果為空集．
故沒有m滿足題意．

點評：本題以不等式為載體，恒成立問題，關鍵是構造函數，變換主元，考查解不等式的能力．屬于中檔題．