Question

若函數f（x）在定義域內存在區間[a，b]，滿足f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱這樣的函數f（x）為“優美函數”．
（Ⅰ）判斷函數f(x)=

x

是否為“優美函數”？若是，求出a，b；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數f(x)=

x

+t為“優美函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知條件中“優美函數”的定義，說明函數f(x)=

x

在區間[a，b]的值域是[a，b]，又由函數的單調性，得到

a =a b =b

，解出a與b即可；
（2）由題意知，函數f(x)=

x

+t為“優美函數”，等價于方程

x

+t=x有兩實根，進而得到參數t的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由于函數f(x)=

x

是增函數，則得

a =a b =b

，
因為a＜b，所以

a=0 b=1

；
（Ⅱ）由于函數f(x)=

x

+t為“優美函數”，則得方程

x

+t=x有兩實根，
設

x

=m (m≥0)，所以關于m的方程m+t=m²即t=m²-m在[0，+∞）有兩實根，
即函數y=t與函數y=(m-

1

2

)2-

1

4

的圖象在[0，+∞）上有兩個不同交點，
∴-

1

4

＜t≤0．

點評：本題考查的知識點是函數單調性和函數的值域，屬于基礎題．根據新定義構造出滿足條件的方程（組）或不等式（組）將新定義轉化為熟悉的數學模型是解答本題的關鍵．