Question

如圖，長方體中，，，點在上，且．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用空間向量解決（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）以為坐標原點，分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系．則．

，．　　　                    ……2分

有，，

故，．

又，所以平面． 　　　                                     ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得是平面的一個法向量，

設向量是平面的法向量，則

  

令，則，，．                                          ……10分

．

所以二面角的余弦值為．                                            ……13分

考點：本小題注意考查空間中線面垂直的證明，二面角的求解.

點評：用空間向量證明立體幾何問題的依據還是相應的判定定理，如第一問中必須強調；另外，用法向量求二面角時，求出的可能是要求的角的補角，要仔細判斷二面角時銳角還是鈍角.