Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在區間[0，1]上是增函數，在區間（-∞，0），（1，+∞）上是減函數，又．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在區間[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由“f（x）在區間[0，1]上是增函數，在區間（-∞，0），（1，+∞）上是減函數”，則有f'（0）=f'（1）=0，再由
．求解．
（Ⅱ）首先將“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”轉化為“x（2x-1）（x-1）≥0，x∈[0，m]成立”求解．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即
解得
∴f'（x）=3ax²-3ax，
∴，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x³+3x²-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴或x≥1．
又f（x）≤x在區間[0，m]上恒成立，
∴．
點評：本題主要考查利用函數的極值點和導數值來求函數解析式及不等式恒成立問題．