Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，是AC的中點，已知，．
（1）求證：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

解析試題分析：（1）證明線面垂直，要證明直線與平面內的兩條相交直線垂直，首先是圓的直徑，因此有，而分別是的中點，因此有，從而，再看已知條件，則點在平面內的射影為的外心，即點，即平面，從而有，因此有平面；（2）棱錐的體積，就是的體積，而棱錐的高就是，底面是，又是弧的中點，因此有，從而有，，底面積、體積均可求．
（1）∵VA=VB，O為AB中點，∴．
連接，在和中，,
∴≌DVOC ，∴=ÐVOC=90°， ∴
∵, 平面ABC, 平面ABC, ∴VO⊥平面ABC．
∵平面ABC，∴．
又∵，是的中點，∴．
∵VOÌ平面VOD，VDÌ平面VOD，，∴ AC平面DOV．
（2）由（2）知是棱錐的高，且．
又∵點C是弧的中點，∴，且，
∴三角形的面積，             
∴棱錐的體積為
故棱錐的體積為．                12分
考點：線面垂直，棱錐的體積．