Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線與軸平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求函數的最小值；

（Ⅲ）求證：存在，當時， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小值為．（Ⅲ）詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出導數，求得切線的斜率，所以，得．；

（Ⅱ），令，得，列表求得函數的最小值

（Ⅲ）顯然，且，分析可知， 存在兩個零點，分別為， ．且在上單調遞增， 在上單調遞減， 在上單調遞增，

所以是極大值， 是極小值，由題可得，進而，

因此時， ．　因為且在上單調遞增，

所以一定存在滿足，所以存在，當時， .

試題解析：（Ⅰ） ，

由已知可得，所以，得．

（Ⅱ），令，得，

所以， ， 的變化情況如表所示：

		極小值

所以的最小值為．

（Ⅲ）證明：顯然，且，

由（Ⅱ）知， 在上單調遞減，在上單調遞增．

又， ，

由零點存在性定理，存在唯一實數，滿足，

即， ，

綜上， 存在兩個零點，分別為， ．

所以時， ，即， 在上單調遞增；

時， ，即， 在上單調遞減；

時， ，即， 在上單調遞增，

所以是極大值， 是極小值，

，

因為， ，

所以，所以，

因此時， ．　

因為且在上單調遞增，

所以一定存在滿足，

所以存在，當時， .