Question

【題目】設.若滿射，滿足：對任意的，，則稱為“和諧函數”.記 ，.設“和諧映射”為滿足條件：存在正整數，使得（1）當時，若，，則 ；（2）若 ，，則，求的最大可能值.

Answer 1

【答案】1008

【解析】

一方面，注意到2017為素數.

設為模2017的一個原則，則關于模2017的半階為1008.

令 .

因為，所以，遍歷模2017的完系.

于是，映射為滿射.

又，即

，

故這樣定義的為“和諧映射”.

據的定義知.

此時，由，得

.

注意到，關于模2017的半階為1008.

故.

從而，所求的.

另一方面，作凸2017邊形，記作圖.

按如下規則連線：若， ，則連線段.

顯然，所連線段為圖的對角線，且所連的線段沒有重復.否則，若存在兩條連線相同，即存在 ，及，使得 ，且或 .

則.

注意到，，這與題設條件矛盾.故所連對角線沒有重復.

因為共連有條線段，而凸2017邊形共有2017×2017條線段，

所以，.

綜上，所求的最大值為1008.