Question

【題目】已知橢圓： ，其中， 為左、右焦點，且離心率，直線與橢圓交于兩不同點， .當直線過橢圓右焦點且傾斜角為時，原點到直線的距離為.

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若，當面積為時，求的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)5.

【解析】試題分析：（Ⅰ）本題考察的是橢圓的標準方程問題，根據題設條件和橢圓的定義，即可求出橢圓的方程；

（Ⅱ）本題考察的是圓錐曲線中的最值與范圍問題，由于直線方程的斜率存在與否未知，需要分直線斜率存在和不存在的兩種情況討論，再聯立方程組，利用韋達定理和弦長公式，得到，再利用基本不等式即可求出所求答案。

試題解析：（1）因為直線的傾斜角為， ，所以，直線的方程為，

由已知得，所以．又，所以， ,

橢圓的方程．

（2）當直線的斜率不存在時， 兩點關于軸對稱，則，

由在橢圓上，則，而，則

知=．

當直線的斜率存在時，設直線為，代入可得

，即，由題意，即．

．

， ,

化為， ，

即．

則，滿足,

由前知， ，

．

，當且僅當，即時等號成立，

故．

綜上可知的最大值為．

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