Question

【題目】已知f（x）= ．
（1）若f（x）＞k的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；
（2）若對任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）＞k，
∴＞k；
整理得kx2﹣2x+6k＜0，∵不等式的解集為{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，
∴方程kx2﹣2x+6k=0的兩根是﹣3，﹣2；
由根與系數的關系知，
﹣3+（﹣2）=，
即k=﹣；
（2）∵x＞0，
∴f（x）==≤=，
當且僅當x=時取等號；
又∵f（x）≤t對任意x＞0恒成立，
∴t≥，
即t的取值范圍是[，+∞）．
【解析】（1）根據題意，把f（x）＞k化為kx2﹣2x+6k＜0，由不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系求出k的值；（2）化簡f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t時t的取值范圍．