Question

（2012•寶雞模擬）平面內點P與兩定點A₁（-a，0），A₂（A，0）（其中a＞0）連線的斜率之積非零常數m，已知點P軌跡C的離心率是

2

2

．
（1）求m的值；
（2）求橢圓C的右焦點且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點．若O為坐標原點，M為橢圓C上一點，滿足

OM

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，設動點P的坐標為（x，y），當x≠±a時，由題設條件得mx²-y²=ma（x≠±a），由A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²-y²=ma²，知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1（x≠±a）．由此能求出m的值．
（2）由橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

1 2 a2

=1，知橢圓C的右焦點為F2(

2

2

a，0)，過F₂斜率為1的直線方程為y=x-

2

2

a．聯立

x2+2y2=a2 y=x- 2 2 a

，解得

x1=0 y1=- 2 2 a

，或

x2= 2 2 3 a y2= 2 6 a

．由此能求出λ的值．

解答：解：（1）由題意，設動點P的坐標為（x，y），
當x≠±a時，由題設條件得kMA1•kMA2=

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

-m，
即mx²-y²=ma（x≠±a），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標滿足mx²-y²=ma²，
∴橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1（x≠±a）．
設橢圓C的半焦距為c（c＞0），
當焦點在x軸上時，有c=

a2-(-ma 2)

=a

1+m

，
∴

a 1+m

a

=

2

2

．解得m=-

1

2

．
當焦點在y軸上時，有c=

-ma2-a2

=a

-1-m

，
∴

a -1-m

a

=

2

2

，解得m=-

3

2

．
（2）由（1）得，橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

1 2 a2

=1，c=

2

2

a，
∴橢圓C的右焦點為F2(

2

2

a，0)，過F₂斜率為1的直線方程為y=x-

2

2

a．
聯立

x2+2y2=a2 y=x- 2 2 a

，解得

x1=0 y1=- 2 2 a

，或

x2= 2 2 3 a y2= 2 6 a

．
設M點的坐標為（x₀，y₀），
①若點A的坐標為（0，-

2

2

a），點B的坐標為（

2 2

3

a，

2

6

a），
∴

x0= 2 2 3 a y0=- 2 2 λa+ 2 6 a

，
∵M為橢圓上一點，∴(

2 2

3

a)2+2(-

2

2

λa+

2

6

a)2=a²，
解得λ=0或λ=

2

3

．
②若點A的坐標為(

2 2

3

a，

2

6

a)，點B的坐標為(0，-

2

2

a)，
∴

x0= 2 2 3 λa y0= 2 6 aλ- 2 2 a

，
∵M為橢圓C上一點，
∴(

2 2

3

λ a)2+2(

2

6

aλ-

2

2

a)2=a2，
解得λ=0或λ=

2

3

，
綜上所述，λ的值為0或

2

3

．

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．