Question

已知函數f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設點A（x₀，f（x₀））為函數f（x）的圖象上任意一點，若曲線f（x）在點A處的切線的斜率恒大于-3，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數f（x）的導數f'（x），討論m的取值，使f'（x）＞0，對應f（x）是增函數，從而得增區間；
（Ⅱ）由函數f（x）在點A（x₀，f（x₀））處的切線的斜率大于-3，得x₀∈（0，+∞）時，f′（x₀）＞-3恒成立，求此不等式恒成立時m的取值范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2-(3+m)x+3mlnx，m∈R，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=x-(3+m)+

3m

x

=

x2-(3+m)x+3m

x

=

(x-3)(x-m)

x

．
①當m≤0時，
令f'（x）＞0，解得x＞3，所以函數f（x）在（3，+∞）上是增函數；
②當0＜m＜3時，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜m或x＞3，所以函數f（x）在（0，m）和（3，+∞）上是增函數；
③當m=3時，f′(x)=

(x-3)2

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函數f（x）在（0，+∞）是增函數；
④當m＞3時，
令f'（x）＞0，解得0＜x＜3或x＞m，所以函數f（x）在（0，3）和（m，+∞）上是增函數．
綜上所述，
①當m≤0時，函數f（x）的單調遞增區間是（3，+∞）；
②當0＜m＜3時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，m）和（3，+∞）；
③當m=3時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）；
④當m＞3時，函數f（x）的單調遞增區間是（0，3）和（m，+∞）．
（Ⅱ）因為函數f（x）在點A（x₀，f（x₀））處的切線的斜率大于-3，
所以當x₀∈（0，+∞）時，f′(x0)=x0-(3+m)+

3m

x0

＞-3恒成立．
即當x₀∈（0，+∞）時，x02-mx0+3m＞0恒成立．
方法1：
設h（x₀）=x02-mx0+3m，函數h（x₀）的對稱軸方程為x0=

m

2

．
（�。┊攎=0時，h（x₀）=x02＞0在x₀∈（0，+∞）時恒成立．
（ⅱ） 當

m

2

＞0時，即m＞0時，在x₀∈（0，+∞）時，函數h（x₀）＞0成立，則方程h（x₀）=0的判別式△=m²-12m＜0，解得0＜m＜12．
（ⅲ）當

m

2

＜0時，即m＜0時，h（x₀）在（0，+∞）上為增函數，h（x₀）的取值范圍是（3m，+∞），則在x₀∈（0，+∞）時，函數h（x₀）＞0不恒成立．
綜上所述，0≤m＜12時，在函數f（x）的圖象上任意一點A處的切線的斜率恒大于-3．
方法2：
由x02-mx0+3m＞0在x₀∈（0，+∞）時恒成立，得x₀∈（0，+∞）時，m(3-x0)＞-x02．
（�。┊攛₀=3時，m(3-x0)＞-x02恒成立；
（ⅱ）當0＜x₀＜3時，上式等價于m＞

x02

x0-3

，h(x0)=

x02

x0-3

，由于此時h（x₀）為減函數，h（x₀）的取值范圍是（-∞，0），只需m≥0；
（ⅲ）當x₀＞3時，m(3-x0)＞-x02上式等價于m＜

x02

x0-3

，設h(x0)=

x02

x0-3

，則h（x₀）=

(x0-3)2+6(x0-3)+9

x0-3

=x0-3+

9

x0-3

+6，當x₀＞3時，h（x₀）≥12（當且僅當x₀=6時等號成立），則此時m＜12．
所以在（0，+∞）上，當0≤m＜12時，在函數f（x）的圖象上任意一點A處的切線的斜率恒大于-3．

點評：本題考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率以及利用導數研究函數的單調性求不等式恒成立的問題，是較難的題目．