Question

【題目】已知函數存在兩個極值點．

（Ⅰ）求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）設和分別是的兩個極值點且，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對原函數求導，即該導函數在有兩個不同根，對該導函數繼續求導，發現只有一個零點，分a = 0，a < 0，a > 0三種情況討論即可.

（Ⅱ）要證，即證．

由得，得.

所以原命題等價于證明．

因為，故只需證，即

令，則，設，利用導數研究其單調性極值與最值即可.

試題解析：（Ⅰ）由題設函數的定義域為， ，故函數有兩個極值點等價于其導函數在有兩個零點．

當a = 0時，顯然只有1個零點．當a≠0時，令，那么．

若a < 0，則當x > 0時，即單調遞增，所以無兩個零點. … 3分

若a > 0，則當時， 單調遞增；當時， 單調遞減，所以. 又，當x→0時→，故若有兩個零點，則，得．

綜上得，實數a的取值范圍是．

（Ⅱ）要證，兩邊同時取自然對數得．

由得，得.

所以原命題等價于證明．

因為，故只需證，即

令，則，設，只需證．… 10分

而，故在單調遞增，所以．

綜上得．

點晴:本題主要考查函數極值，不等式證明問題.要求極值，求導得導函數，分a = 0，a < 0，a > 0三種情況討論極值情況，要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.