Question

【題目】已知橢圓的長軸長與焦距分別為方程的兩個實數根.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線過點且與橢圓相交于，兩點，是橢圓的左焦點，當面積最大時，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，解方程，可求出、的值，進而求出的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的標準方程聯立，列出韋達定理，求出的面積關于的表達式，換元，利用基本不等式求出面積的最大值，利用等號成立的條件求出的值，即可得出直線的斜率.

（1）設橢圓的焦距為，由可得，，

所以，，即，.所以，

故橢圓的標準方程為；

（2）設直線的方程為，設、，

與橢圓方程聯立得，消去得.

則，所以.

由根與系數的關系知，，

所以.①

令，則①式可化為.

當且僅當，即時，等號成立.

此時，所以直線的斜率為.