Question

設x₁＜x₂，定義區間[x₁，x₂]的長度為x₂-x₁．若函數y=2^|x|，x∈[a，b]的值域與y=

x

+

3-3x

的值域相同，則區間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為

1

．

Answer 1

分析：先利用導數正確求出函數y=

x

+

3-3x

的值域，進而利用單調性求出函數y=2^|x|取何定義域時的值域與之相同即可．

解答：解：對于函數y=

x

+

3-3x

，∵x≥0，1-x≥0，∴0≤x≤1．∴此函數的定義域為[0，1]．
y′=

1

2 x

+

-3

2 3-3x

=

3-3x -3 x

2 x(3-3x)

，令y^′=0，解得x=

1

4

．
當x∈[0，

1

4

)時，y^′＞0；當x∈(

1

4

，1]時，y^′＜0．
∴函數f（x）=y=

x

+

3-3x

在區間[0，

1

4

)上單調遞增，在區間(

1

4

，1]是單調遞減．
又f(0)=

3

，f（1）=1，f(

1

4

)=2，∴f（x）_max=2，f（x）_min=1，
函數y=

x

+

3-3x

的值域為[1，2]．
當x∈[0，1]時，函數y=2^|x|，x∈[0，1]的值域為[1，2]．
則區間[0，1]的長度的最大值與最小值的差為1．
故答案為1．

點評：正確求出函數y=

x

+

3-3x

的值域及與利用單調性求出函數y=2^|x|取何定義域時的值域相同是解題的關鍵．