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已知函數f(x)=x2+ax+b,當p,q滿足p+q=1時,證明:pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)對于任意實數x,y都成立的充要條件是0≤p≤1.
見解析
解析證明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2(因為p+q=1).充分性:若0≤p≤1,q=1-p∈[0,1].所以pq≥0,所以pq(x-y)2≥0,所以pf(x)+qf(y)≥f(px+qy).必要性:若pf(x)+qf(y)≥f(px+qy),則pq(x-y)2≥0,因為(x-y)2≥0,所以pq≥0.即p(1-p)≥0,所以0≤p≤1.綜上,原命題成立.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數.（1）解不等式； （2）若，求證：
設，且滿足：，，求證：.
若n是大于1的自然數,求證:+++…+<2.
已知，，，且．求證：．
若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求證:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能同時大于1.
解不等式|x-1|+|x-2|>5.
已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集為M.(1)求M.(2)當a,b∈M時,證明:2|a+b|<|4+ab|.
已知|x－a|<b(a、b∈R)的解集為{x|2<x<4},求a－b的值．
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； 
，求證：
，且滿足：
，
，求證：
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+…+
<2.
，
，
，且
．求證：
．