Question

一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為36π，那么這個正三棱柱的體積是（　�。�

• A、27

  3

• B、36

  3

• C、54

  3

• D、162

  3

Answer 1

分析：由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關系，求出邊長，即求出底面正△的面積；得出棱柱的體積．

解答：解：由球的體積公式，得

4

3

πR³=36π，
∴R=3．
∴正三棱柱的高h=2R=6．
設正三棱柱的底面邊長為a，則其內切圓的半徑為：

1

3

•

3

2

a=3，
∴a=6

3

．
∴該正三棱柱的體積為：V=S_底•h=

1

2

•a•a•sin60°•h=162

3

．
故選D．

點評：本題考查了球的體積，柱體體積公式的應用；本題的解題關鍵是求底面邊長，這是通過正△的內切圓與邊長的關系得出的．