Question

【題目】已知平面內動點與點，連線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，直線，與直線分別交于，兩點.求證：以為直徑的圓恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1) 設點的坐標，再根據列式求解，同時注意定義域即可；

(2)聯立與橢圓的方程，設，，得出韋達定理，進而求得的坐標表達式，進而求得的長及的中點，寫出以為直徑的圓的方程，即可分析出所過定點.

（1）設點的坐標為，則由，可得

整理得，即動點的軌跡的方程

（2）當的斜率存在時，設的方程為，與曲線的方程聯立，消去得

設，，則，

直線的方程為，令，得，即，

同理，

∴

∴

線段中點的縱坐標為

故以為直徑的圓的方程為：

令得:，解得或

此時以為直徑的圓過點和

當軸時，，，，

則以為直徑的圓的方程為，也過點，

所以，以為直徑的圓恒過點和.