Question

已知函數，。

（1）若對任意的實數a，函數與的圖象在x = x₀處的切線斜率總想等，求x₀的值；

（2）若a > 0，對任意x > 0不等式恒成立，求實數a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）a-1（2）

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ)恒成立，恒成立即.  

方法一：恒成立，則

而當時，

則，，在單調遞增，

當，， 在單調遞減，

則，符合題意.

即恒成立，實數的取值范圍為；

方法二：，

(1)當時，，，，在單調遞減，

當，，在單調遞增，

則，不符題意；

(2)當時，，

①若，，，，單調遞減；當，， 單調遞增，則，矛盾，不符題意；

②若，

（Ⅰ）若，；；

，在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，不符合題意；

（Ⅱ）若時，，，在單調遞減，，不符合題意.

（Ⅲ）若，，，，，，，， 在單調遞減，在單調遞增，在單調遞減，，與已知矛盾不符題意.

（Ⅳ）若，，，，在單調遞增；

當，， 在單調遞減，

則，符合題意；

綜上，得恒成立，實數的取值范圍為

(Ⅱ) 由(I)知，當時，有，；于是有 ，.

則當時，有

在上式中，用代換，可得

相乘得

考點：導數的運用

點評：解決的關鍵是借助于導數的符號來判定函數的單調性，以及函數的最值，進而證明不等式，屬于基礎題。